人类社会的原始时代， 最先有的是数的概念。早期与数字相联系的最重要概念就是天文和时间。 在原始社会，天文是少数人的权力。而随后伴随着商品交换的发生和发展， 刺激了四则运算的需求， 数字的概念得到了普及。 与此同时为了测量土地面积， 搭建房屋，发展出了图形之上的几何。
数字和图形的研究构成了早期数学的全部。 其中最关键的是数字的表示。 不同数字的表示方式， 严重影响运算的效率。 中国古代在数字表示上曾经使用过算筹， 立杆为个位数，横杆的多少为十，百，千， 这样的表示在效率上曾经大大优于古埃及-希腊-罗马数字。 然而具体到文字书写， 又放弃了这一体系。众所周知，今天我们从小学习的数字叫阿拉伯数字， 更精确的讲， 是印度-阿拉伯数字。 主要是源于印度的书写符号，特别是零， 最后在阿拉伯定型。印度古代在数学上也有不小的成就， 从婆罗摩笈多到Madhava， 从负数到无限。 印度数字在抽象概念上比中国古代跑的更远。
而关于几何， 最重要的早期定律当然是勾股定理， 也就是毕达哥拉斯定理。这个定理的表现形式， 尤其凸显东西方的数学区别， 西方侧重于抽象和逻辑， 毕达哥拉斯本人据此创立了学派， 认为研究数字的奥秘可以接触到神或者真理。而在中国， 是勾三股四弦五。 是一种用于实际的计算技巧。 中国的古代数学成就，从鸡兔同笼，韩信点兵，解方程的消去法到中国剩余定理， 都是快速计算技巧， 也就是算法，而不是从公理到定理的抽象逻辑思辨。这是东西方思维方式一开始就不同的地方。 中国古代数学也包含神秘化的成分，比如从河图洛书到八卦， 幻方和阴阳被中国古人当作是自然的秩序，赋予了崇高的含义。
古代数学里最卓越的成绩当然是几何原本， 欧几里得从一般公理出发， 用逻辑手段构建了几何的大厦。直到今天， 小孩子们上学学习的几何与两千年前没有什么变化， 也有一种说法， 是我们其实不知道欧几里得的原文， 现在看到的欧几里得几何原本主要是来源于阿拉伯的转译， 其中的评论部分， 甚至包括部分定理， 都有可能是阿拉伯人的贡献。
在西方数学历史上有一个承前启后的人是意大利的斐波那契。斐波那契本人对数学没有做出太多创见， 只是提出了所谓斐波那契数列。他最大的成就就是从阿拉伯人哪里学习了数学。在早年游历四方后，他回到了意大利， 把阿拉伯数字介绍给西方， 写出了算经等著作，系统的介绍了阿拉伯继承的数学成就， 并以此引领了此后西方的数学启蒙。
古代东方，古希腊，阿拉伯那个的成就大？那家对后来的数学贡献更多？ 是打不完的口水仗。事关民族尊严， 可能会一直吵下去。 把这些纠纷抛开， 数的学问， 早期集中于方程， 和由此基础之上发展出来的代数， 欧洲人在中世纪后半段的神学院里试图恢复中断的希腊文明时， 早期也集中于三次方程求解之类的问题。
在机器文明数学本质这本书里， 作者强调隐含在西方的史料里面， 没有被公开挑明的， 推动数学进展， 特别是从伽利略到牛顿发明的运动定律， 主要原因是因为火药被蒙古人传入了欧洲。 为了研究武器， 特别研究炮弹的运动， 必须研究关于运动的物理和数学计算。于是古代的静态数字和几何，变成了研究运动和动态的学问。而其中最关键的就是微积分的发明， 也就是数学里新开一类的分析方法。微积分的核心思想， 通过微小的增量来研究局部来把握整体性质，正好用来推算大炮的控制和炮弹的轨迹。
有关微积分的发明， 历史上曾有牛顿和莱布尼茨之间的一段公案。 按今天的史料分析， 两个人应当是各自独立发明了微积分。在当年的争执中， 牛顿利用自己的皇家学会会长的身份，压倒了莱布尼茨。 而在随后的历史上， 莱布尼茨因为对微积分的表达更简洁而胜出。 今天我们使用的微积分符号就来源于莱布尼茨。 更细节一点， 牛顿的思路是运动变化的思路， 从微分到积分， 莱布尼茨是从积分到微分。 直到今天，怎么来讲微积分也有两派。
在数学的历史上， 不能忽略的一个最著名的“业余”数学家是法国人费马。 费马比牛顿早出生40年， 两个人的生平没有什么交集。但是牛顿，莱布尼茨以及后来的很多著名数学家都受到了费马的影响。 费马本人是个律师， 数学只是业余爱好。他对早期的数学有全面的贡献， 其中让他特别知名的是很多有关数的问题， 费马大小定理引导了后来数论的研究。 不仅如此， 费马对概率论， 早期微积分思想， 和解析几何都有贡献。 特别是对解析几何， 他从方程，推导轨迹，独立于笛卡尔提出了解析几何的关键思想。 在数学票友里， 费马是空前绝后的一个， 也许只有在他那个时代， 数学的萌芽时期， 才能给出如此之多的贡献吧。
说到几何， 和费马平行提出解析几何， 并且给出更严格数学关系的是用代数方法来表示几何的笛卡尔。 在笛卡尔这里， 代数和几何得到了统一。 笛卡尔更重要的历史作用是作为一个哲学家， 他提出了 一种思辨哲学的方法论。 而他的名言，我思故我在，至今被不断引用。从笛卡尔的解析几何，到牛顿-莱布尼茨的微积分， 东西方数学就此分野。 西方数学从此开始踏上了抽象演化之路。不断有历史上的天才加入推进数学像抽象世界前进的图景。篇幅所限， 后面只是简述其中一条主要的传承路径。
在费马和笛卡尔的基础上发明了微积分的莱布尼茨，有个好朋友来自著名的伯努利家族。这也许是史上唯一数学家族。 通常大数学家的儿子都不是大数学家， 只有伯努利家族例外。
伯努利家族居住在瑞士的巴塞尔， 从十七世纪到十八世纪， 为世界贡献了六位著名的数学家。 除了他们的数学成就之外，他们的另一主要贡献是在欧洲广泛传播以微积分为代表的数学知识，特冰是教导了很多弟子。 其中之一就是欧拉。
欧拉是数学史上最杰出和多产的人之一， 或者没有之一。 欧拉也是出生在巴塞尔的瑞士人。 他早期的主要成就， 是在俄罗斯圣彼得堡做出的， 他在俄罗斯呆了14年， 当年的俄国因为彼得大帝的缘故成立了科学院从事科学研究，然而彼得大帝去世两代以后，科学院就不再受到重视。 欧拉随后受邀来到普鲁士， 居住在柏林，直到自己的生命终点， 死前一刻， 还给出了计算刚刚发现的天王星轨道的思路。 临死一刻， 欧拉说出了， “我死了”的名言， 然后就”停止了生命和计算”。
以欧拉名字命名的欧拉方程可能是数学里最美的公式之一e^(i*Pi) = -1. 把数学上三个著名的表示， e， i， pi 联系在了一起。
在欧拉的时代， 数学和工程特别是军事更紧密的联系起来。 不光是计算炮弹的轨道， 从准备战争， 筹划物资， 到规划运输， 制定战略计划， 以及无处离不开数学。 因为抽象和表示的能力， 可以用于分析， 建立模型， 更重要的是控制， 把庞大的非人力，导向预期的结果。 这是数学的核心能力。
从欧拉开始， 欧洲数学的中心一直在德国。 欧拉之后，下一个数学巨人就是高斯。 高斯的数学成就毋庸赘述， 他对数学的贡献不光是个人的贡献， 他本人就是欧洲数学的枢纽。 年轻的数学家们，有的聚集在高斯周围，有的离得远，就通过给高斯写信，来验证自己的思想。 这其中有被高斯错误打击的甚至后来疯掉的可怜的匈牙利数学老师鲍耶·雅诺什。 也有高斯的学生， 在他之后终于提出完整非欧几何理论的黎曼。
德国数学在当年引领世界的证明之一，就是在二十世纪初希尔伯特总结提出的二十三个数学问题。 希尔伯特认为通过研究这二十三个问题能够构筑数学大厦。事实上，虽然因为哥德尔的结果， 数学大厦没有建筑成功。 希尔伯特的问题仍然引领了现代数学直到今天。 希尔伯特本人1943年死在德国。 死前他的主要数学伙伴和学生都已经被纳粹赶到了美国， 聚集地之一是普林斯顿。
有关现代数学， 我在春节闲谈-说说思维方式里曾经讲过一些。 数学本身看似抽象， 然而一旦联系实际， 又是控制自然界非人能量的唯一路径。 数学家的贡献， 可以用于造福人类， 也可以用于毁灭人类。 为此在60年代， 法国布尔巴基学派的领军人物之一，代数几何的创立者alexander grothendieck放弃了研究， 去法国南部教书， 变成了和平主义者， 一个晚年的佛教徒（2014年86岁时去世）.
在未来的AI时代， 可以想象， 对操控这一更加强大的非人能量，甚至智慧。 数学思维会起到更大的影响和作用。 数学的天空会归于平谈还是更加灿烂， 是令人浮想联翩的未来。